Экспоненциальный рост • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

\[
\begin{array}{lcl}
\text{прирост населения}&=&{\text{число рождений}}-\text{число смертей}\\
&\propto& N\\
&=&rN
\end{array}\]

(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения. )

Пусть dN — число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

    dN = rN dt

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

    N = N₀ e^rt

где N₀ — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

    dN = rN(1 — (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 — (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерры, уравнение Лотки—Вольтерры. (Вито Вольтерра, 1860–1940 — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Что такое экспонента или как заставить чай остывать не так быстро — T&P

Когда снежный ком катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет.

Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше — при помощи функций. Функция — это правило, по которому одному числу (например, x) ставится в соответствие другое (например y). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x², а бывают посложнее вроде y=10*sin(7×2+3x-9). Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.

Еще у функций есть производная. Это — скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x. Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x. А в случае функции y=x² производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.

Экспонентой называется функция y=e^x, где e — хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой. Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными.
У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет.
Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x. Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается.
А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется — налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.

Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается.
Еще один пример — ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.

Константин Катамадзе

Теги

#просто о сложном

#наука

• 264 811

Экспоненциальный рост: что это такое, почему это важно и как его обнаружить

23 сентября 2020 г.

Эта статья предназначена для читателей, которые все больше знакомы с термином «экспоненциальный рост», например, из новостей о covid -19 пандемии, и хотелось бы нематематического объяснения

Было отмечено, что «экспоненциальный» рост часто считается синонимом «быстрого» роста. Что-то называется «быстрым», если оно имеет высокую скорость. В этой статье мы увидим, что экспоненциальный рост не имеет 9Скорость от 0007 до : важно то, как скорость продолжает меняться.

Часть первая: Два способа понять экспоненциальный рост

Вот как я узнал об экспоненциальном росте на уроках математики: когда скорость роста пропорциональна численности населения, это экспоненциальный рост. В качестве примера из учебника можно представить небольшую популяцию красных коршунов, живущих в большой, богатой едой и свободной от хищников сельской местности. Если в размножающейся популяции 20 красных коршунов, у них будет в два раза больше птенцов, чем если бы в размножающейся популяции было 10 красных коршунов. Скорость роста пропорциональна текущему количеству красных коршунов.

Обратите внимание, что нет единой скорости роста. Мы не можем сказать, что увеличение составляет 10 красных коршунов в год, или 20 красных коршунов в год, или любое фиксированное количество красных коршунов в год. Каким бы ни был прирост в этом году, в следующем году красных коршунов будет больше, и прирост будет больше, чем в этом году.

Вот еще один способ понять экспоненциальный рост, столь же правильный. Когда есть фиксированное время удвоения, мы имеем экспоненциальный рост. Предположим (ради аргумента), что у типичной пары красных коршунов каждый год рождается два детеныша, которые успешно достигают репродуктивного возраста. Тогда популяция в следующем году (в нашей гипотетической, бесконечно богатой ресурсами и безопасной для красных коршунов среде) будет вдвое больше, чем популяция в следующем году. Население через год снова будет в два раза больше, и так далее. Срок удвоения составляет один год.

Вы, конечно, заметили, что мы упускаем из виду некоторые неудобные детали, такие как смертность, которые могут повлиять на рост численности красных коршунов. В реальном мире экспоненциальный рост не может продолжаться бесконечно. Тем не менее, это часто хорошо сочетается с тем, что происходит в реальном мире. Основополагающий принцип медицинской статистики заключается в том, что «все модели ошибочны, но некоторые модели полезны» (приписывается GEP Box).

Под «моделью» мы подразумеваем математическую модель, а под математической моделью мы подразумеваем идею о том, что математическая формулировка может соответствовать тому, что происходит в реальном мире. Мы увидим, что это может относиться и действительно относилось к таким эпидемиям, как covid-19.пандемия.

В таблице показано количество подтвержденных случаев заболевания Covid-19 в Великобритании в 2020 году до введения «локдауна» 23 марта (источник: https://coronavirus.data.gov.uk/cases, по состоянию на 2020-2020 гг. ). 09-21). (В это время не было тестирования сообщества: это количество госпитализированных подтвержденных случаев covid-19.) Мы сразу замечаем, что нет фиксированной скорости роста: это не 10 новых случаев в день или 50 случаев в день. день, или тысяча дел в день. Количество новых случаев увеличивается вместе с количеством существующих. В среднем это около 22% от числа существующих случаев. Это наша первая концепция экспоненциального роста.

Наш второй способ понять экспоненциальный рост — подумать о времени удвоения. Из этих 22% я вычисляю время удвоения в 2,7 дня, поэтому я выделил жирным шрифтом каждый третий день в таблице. Решите для себя: удваивается ли количество наблюдений между каждой выделенной строкой? Взгляд на эти данные как «экспоненциальный рост» не совсем правильный, но, на мой взгляд, не так уж и неправильный.

Как мы уже писали ранее, столбец даты нельзя воспринимать слишком буквально: это дата сообщения, а не дата возникновения случая.

Таблица 1. Зарегистрированные случаи заболевания covid-19 в Великобритании за месяц до объявления карантинных мер.

Дата	Дела на сегодняшний день	Зарегистрировано новых случаев	Совокупность ящиков
23.02.2020	10	1	11
24.02.2020	11	2	13
25.02.2020	13	5	18
26.02.2020	18	4	22
27.02.2020	22	8	30
28.02.2020	30	12	42
29.02.2020	42	5	47
03. 01.2020	47	22	69
03.02.2020	69	40	109
03.03.2020	109	55	164
03.04.2020	164	56	220
03.05.2020	220	51	271
03.06.2020	271	81	352
03.07.2020	352	60	412
03.08.2020	412	57	469
03.09.2020	469	148	617
03.10.2020	617	259	876
03. 11.2020	876	406	1282
03.12.2020	1282	484	1766
03.13.2020	1766	478	2244
03.14.2020	2244	361	2605
15.03.2020	2605	442	3047
16.03.2020	3047	610	3657
17.03.2020	3657	770	4427
18.03.2020	4427	999	5426
19.03.2020	5426	1053	6479
20.03.2020	6479	1259	7738
21. 03.2020	7738	1196	8934
22.03.2020	8934	1378	10312
23.03.2020	10312	2335	12647

Часть вторая: как распознать экспоненциальный рост

Простой способ обнаружить экспоненциальный рост — попытаться определить время удвоения. Обеспокоенный читатель газеты весной 2020 года может заметить явное удвоение числа случаев, например, между 23 и 26 февраля, а затем продолжить смотреть новости, чтобы увидеть, продолжают ли удваиваться случаи примерно каждые три дня.

Для людей с математическим складом ума правильным способом будет построить график логарифма от общего числа красных коршунов в Оксфордшире или совокупного числа случаев заболевания ковидом в Великобритании в зависимости от времени. Логарифмы обратны экспоненциальной функции: если мы имеем экспоненциальный рост, то график общего количества журналов в зависимости от времени будет следовать примерно прямой линии.

На рисунке показаны те же данные, что и в таблице. Совокупное количество случаев имеет кривую (левый график), но его логарифм следует прямой линии. (Мы можем использовать аппроксимированную линию для оценки времени удвоения: наклон аппроксимированной линии составляет 0,251 log случаев в день, а log(2)/0,251 = 2,76 дня, что аналогично 3 дням, которые мы оценили, взглянув на таблицу. )

Часть третья: почему важен экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост важен, потому что его легко недооценить. В легенде о пшенице и шахматной доске проситель просит у короля пшеничное зернышко на первой клетке шахматной доски; два зернышка пшеницы на втором квадрате; и так далее, удваивая количество пшеницы на каждом квадрате, пока все 64 квадрата не будут заполнены. Король принимает то, что он считает скромной просьбой, только чтобы обнаружить, что он пообещал доставить больше пшеницы, чем может произвести весь мир.

Посмотрите на данные в таблице 1 за последние несколько дней февраля. Если бы вы были британским политиком, анализирующим данные в конце февраля, вы бы увидели темпы роста в десятки случаев в день. Как вы думаете, сколько времени пройдет, прежде чем болезнь захлестнет Национальную службу здравоохранения? Для организации с более чем 100 000 больничных коек (источник: The King’s Fund) может показаться, что времени достаточно — месяцев? годы? – до этого состояния требуется даже десятая часть мощности.

Но нет, если мы осознаем, что это экспоненциальный рост. Удвоение каждые 3 дня увеличило бы количество случаев примерно с 50 до 100, до 200, до 400, до 800, до 1600, до 3200, до 6400 и до 12800 к 24 марта. Как видно из таблицы, скорость удвоения была немного выше, и к 23 марта в Великобритании было зарегистрировано более 12 000 госпитализированных случаев. (При таком темпе еще четыре удвоения были бы больше госпитализаций с COVID-19, чем общее количество коек в больницах NHS: конечно, этого не произошло — Великобритания приняла меры, рост болезни был остановлен. )

Вот почему экспоненциальный рост, когда он происходит, должен быть признан и не должен быть ошибочно принят за просто «быстрый». В первые дни — верхние строчки таблицы — рост на самом деле не быстрый; просто десятки новых случаев в день в миллионной стране. Экспоненциальный рост станет быстрым, даже если сейчас он медленный.

В задачах реальной жизни экспоненциальный рост имеет верхний предел. Наши гипотетические красные коршуны будут размножаться, но они также будут стареть и умирать, а гипотетическое большое и богатое место, в котором они живут, будет выглядеть менее большим и менее богатым по мере роста популяции красных коршунов. В случае болезни, когда заболевшие составляют значительную долю от общей численности населения, так что восприимчивая популяция значительно меньше, рост будет медленнее, чем экспоненциальный (более подробно см. видеолекцию доктора Робина Томпсона).

Авторы

Ричард Стивенс — адъюнкт-профессор медицинской статистики в Наффилдском отделении первичной медико-санитарной науки и директор курса магистра наук в области доказательной медицины (медицинская статистика).

Рафаэль Перера — профессор медицинской статистики в Наффилдском отделении первичной медико-санитарной помощи.

Карл Хенеган — профессор доказательной медицины, директор Центра доказательной медицины и директор по исследованиям программы доказательной медицины. (Полная биография и заявление о раскрытии информации здесь)

Ричард Хоббс — врач общей практики и профессор Наффилда в области медицинских наук в области первичной медико-санитарной помощи, директор Английской школы исследований в области первичной медицинской помощи NIHR и директор NIHR Applied Research Collaboration (NIHR ARC) Oxford

Джейсон Оук — старший статистик в Департаменте Наффилда Медико-санитарные науки первичной медико-санитарной помощи и координатор модулей статистических вычислений с помощью R и Stata (EBHC Med Stats), а также введение в статистику для исследований в области здравоохранения (EBHC) в рамках программы доказательной медицины.

Отказ от ответственности : статья не прошла рецензирование; оно не должно заменять индивидуальное клиническое суждение, и следует проверять цитируемые источники. Мнения, выраженные в этом комментарии, отражают точку зрения авторов и не обязательно точку зрения принимающего учреждения, Национальной службы здравоохранения, Национального института здравоохранения или Министерства здравоохранения и социального обеспечения. Взгляды не заменяют профессиональную медицинскую консультацию.

Определение, примеры, формула для расчета

Что такое экспоненциальный рост?

Экспоненциальный рост — это модель данных, которая показывает большее увеличение с течением времени, создавая кривую экспоненциальной функции.

Например, предположим, что популяция мышей экспоненциально увеличивается в два раза каждый год, начиная с 2 в первый год, затем 4 во второй год, 8 в третий год, 16 в четвертый год и так далее. В этом случае население увеличивается в 2 раза каждый год. Если вместо этого мыши родят четырех детенышей, у вас будет 4, затем 16, затем 64, а затем 256.

Экспоненциальный рост (который является мультипликативным) можно противопоставить линейному росту (который является аддитивным) и геометрическому росту (который возводится в степень).

Основные выводы:

• Экспоненциальный рост — это модель данных, которая показывает более резкий рост с течением времени.
• В финансах начисление сложных процентов создает экспоненциальную доходность.
• Сберегательные счета с начисляемой процентной ставкой могут демонстрировать экспоненциальный рост.

Понимание экспоненциального роста

В финансах сложные доходы вызывают экспоненциальный рост. Сила сложных процентов — одна из самых мощных сил в финансах. Эта концепция позволяет инвесторам создавать большие суммы с небольшим первоначальным капиталом. Сберегательные счета со сложной процентной ставкой являются типичными примерами экспоненциального роста.

Применение экспоненциального роста

Предположим, вы вносите 1000 долларов на счет с гарантированной процентной ставкой 10%. Если счет имеет простую процентную ставку, вы будете зарабатывать 100 долларов в год. Сумма выплачиваемых процентов не изменится до тех пор, пока не будут внесены дополнительные депозиты.

Однако, если счет имеет сложную процентную ставку, вы будете получать проценты на совокупную сумму счета. Каждый год кредитор будет применять процентную ставку к сумме первоначального депозита вместе с любыми ранее выплаченными процентами. В первый год заработанные проценты по-прежнему составляют 10% или 100 долларов. Однако на второй год к новой сумме в 1100 долларов применяется ставка 10%, что дает 110 долларов. С каждым последующим годом сумма выплачиваемых процентов растет, создавая быстро ускоряющийся или экспоненциальный рост. Через 30 лет, если не потребуется никаких других депозитов, ваш счет будет стоить 17 449 долларов.Т
В=С×(1+Р)Т

Текущее значение V начальной начальной точки, подверженной экспоненциальному росту, может быть определено путем умножения начального значения S на сумму единицы плюс процентная ставка R, возведенная в степень T, или на число прошедших периодов.

Особые указания

В то время как экспоненциальный рост часто используется в финансовом моделировании, реальность часто оказывается более сложной.